Keterbagian, Sifat-sifatnya, serta Contohnya

MAKALAH

KETERBAGIAN, SIFAT-SIFATNYA, SERTA CONTOH-CONTOHNYA


BAB I
PENDAHULUAN

I.          LATAR BELAKANG
            Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori bilangan ada BAB yang berjudul Keterbagian Bilangan. Keterbagian Bilangan merupakan dasar dari berbagai sifat teori bilangan, oleh karenanya kita sebagai mahasiswa dan mahasiswi harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan. Menyikapi hal tersebut kami sebagai penyusun makalah ini berusaha menyajikannya yang Insya Allah akan menambah pengetahuan kita.
II.         RUMUSAN MASALAH
1.      Apa definisi dari keterbagian bilangan?
2.      Apa saja sifat-sifat keterbagian bilangan?
3.      Apa saja contoh-contoh keterbagian bilangan?

III.       TUJUAN
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut:
1.      Ingin mengetahui dan memahami definisi dari keterbagian bilangan.
2.      Ingin mengetahui dan memahami sifat-sifat keterbagian bilangan.
3.      Ingin mengetahui dan memahami contoh keterbagian bilangan.


BAB II
PEMBAHASAN

I.          DEFINISI
Pembagian bilangan bulat merupakan bahan pelajaran matematika yang sudah diberikan di sekolah dasar. Bahan pelajaran ini diperluas penggunaannya sampai pada pemfaktoran prima, faktor persekutuan terbesar (FPB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan keterbagian oleh bilangan tertentu (misalnya keterbagian oleh 2,3, atau 9). Untuk memberikan dasar atau landasan yang lebih kuat kepada guru matematika di sekolah, maka mereka perlu  belajar lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.
Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.
II.        SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Teorema 1                                                         
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan  b│c maka a│c.
Bukti
a│b dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga   c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn = p  anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.

Teorema 2
Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk suatu m,n anggota bilangan bulat.
Bukti
            c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga a =cx dan b =cy
Sehingga, am = c(xm) dan  bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
 am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).

Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3)
a.          Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b.         Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a.          Jika  a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat  m ≠ 0
sedemikian sehingga b = am.
Karena b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b.         Andaikan  a│b dan b│a.  Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0  maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika  a ≠ 0 dan  b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.
III.       CONTOH KETERBAGIAN
            Untuk menguji suatu bilangan bulat dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode pembagian cara panjang. Meskipun demikian, kita akan menggungkap cara lain untuk menguji keterbagian beberapa bilangan bulat. Sebagai contoh, kita akan menentukan apakah 1734 habis dibagi oleh 17. Untuk keperluan ini, perhatikan langkah-langkah berikut ini:
1734 = 1700 + 34
Karena 171700 dan 1734, menurut sifat keterbagian, 17(1700 + 34), atau 171734. Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bahwa 17┼1735.
Untuk menentukan apakah suatu bilangan bulat n dapat dibagi (habis dibagi) oleh bilangan bulat lain d, kita pertimbangkan bahwa n sebagai jumlah atau selisih dua bilangan-bilangan bulat di mana d paling sedikit dapat membagi satu dari bilangan-bilangan bulat itu. Sebagai contoh, tentukan apakah 358 habis dibagi oleh 2. Jelas sekali bahwa 358 dapat dibagi oleh 2 karena 358 adalah bilangan genap. Hal ini karena digit satuannya 2. Selanjutnya perhatikan yang berikut ini:
358 = 350 + 8 = 35(10) + 8
Kita mengetahui bahwa 210 sehingga 235(10), dan 28 yang mengakibatkan 2(35(10) + 8). Karena 2 membagi sebarang bilangan berkelipatan 10, untuk menentukan apakah suatu bilangan dapat dibagi oleh 2 cukup dengan memperhatikan apakah digit satuannya dapat dibagi oleh 2. Jika digit satuannya tidak dapat dibagi oleh 2 maka bilangan itu tidak dapat dibagi oleh 2.
Kita dapat mengembangkan uji serupa ini untuk keterbagian oleh 5 dan 10. Secara umum, kita mempunyai aturan-aturan keterbagian sebagai berikut:

Uji keterbagian oleh 2.
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 2 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 2.

Uji keterbagian oleh 5.
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 5 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 5. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.

Uji keterbagian oleh 10. Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 10. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0.

Selanjutnya kita akan memperhatikan aturan keterbagian oleh 4 dan 8. Kita tahu bahwa 4┼10 dan 8┼10 sehingga tidak tepat jika kita digit satuan untuk keterbagian oleh 4 dan 8. Tetapi 4 atau 22 dapat membagi 102, dan 8 atau 23 dapat membagi 103. Pertama kita akan mengembangkan suatu aturan keterbagian oleh 4. Perhatikan empat digit bilangan n sebarang, sedemikian sehingga n = a.103 + b.102 + c.10 + d. Kita tahu bahwa 4102 karena 102 = 4 . 25 dan akibatnya 4103. Karena 4102, 4b.102 dan 4a.103. Akhirnya, 4b.102 dan 4a.103 memberikan implikasi 4(a.103 + b.102). Sekarang, keterbagian n = a.103 + b.102 + c.10 + d oleh 4 tergantung pada keterbagian (c.10 + d) oleh 4. (c.10 + d) merupakan bilangan yang ditampilkan oleh dua digit terakhir pada bilangan bulat n yang diberikan. Kita rangkum hal ini di dalam uji berikut ini.

Uji keterbagian oleh 4
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 4. Untuk menyelidiki suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 8, kita telah mengetahui bahwa pangkat terkecil dari 10 yang dapat dibagi oleh 8 adalah 10. Karena 10 = 8 . 125. Akibatnya, untuk setiap bilangan bulat n dan n 3, 10n juga dapat dibagi oleh 8.

Uji keterbagian oleh 8.
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 8. Berikut ini adalah beberapa contoh penggunaan uji keterbagian oleh 2, uji keterbagian oleh 4, dan uji keterbagian oleh 8.
Contoh1.
a. Tentukan apakah 97128 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
b. Tentukan apakah 83026 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
Jawab.
a.         2 | 97128 karena 2 | 8
4 | 97128 karena 4 | 28
8 | 97128 karena 8 | 128
b.         2 | 83026 karena 2 | 6
4 | 83026 karena 4 | 26
8┼83026 karena 4┼026.

Selanjutnya, kita perhatikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3. Tidak ada pangkat dari 10 yang dapat dibagi oleh 3, tetapi bilangan-bilangan 9, 99, 999, dan yang sejenisnya adalah dekat dengan bilangan pangkat ari 10 dan dapat dibagi oleh 3. Kita tulis kembali bilangan-bilangan yang menggunakan 999, 99, dan 9 sebagai berikut:

5721    = 5 . 103 + 7 . 102 + 2 . 10 + 1 = 5(999 + 1) + 7(99 +1) + 2(9 + 1) + 1
= 5 . 999 + 5 . 1 + 7 . 999 + 7 . 1 + 2 . 9 + 2 . 1 + 1
= (5 . 999 + 7 . 99 + 2 . 9) + ( 5 + 7 + 2 + 1)

Jumlah dari bilangan-bilangan yang ada dalam kurung pertama dapat dibagi oleh 3. Jadi keterbagian 5721 oleh 3 tergantung pada jumlah bilangan-bilangan yang ada di dalam kurung ke dua. Di dalam kasus ini, 5 + 7 + 2 + 1 = 15 dan 3 15. Jadi 3 5721. Dengan demikian, untuk memeriksa apakah 5721 dapat dibagi oleh 3, kita cukup memeriksa apakah 5 + 7 + 2 + 1 dapat dibagi oleh 3. Contoh ini membawa kita pada uji keterbagian oleh 3 sebagai berikut.

Uji keterbagian oleh 3
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 3.

Kita dapat menggunakan argumen yang serupa untuk digunakan membuktikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3, khususnya bilangan bulat bilangan bulat yang mempunyai 4 digit, n = a . 103 + b . 102 + c . 10 + d.
Karena a . 999 + b . 99 + c . 9 + d dekat ke n dan dapat dibagi oleh 3, kita peroleh sebagai berikut:
a . 103 + b . 102 + c . 10 + d   = a . 1000 + b . 100 + c . 10 + d
= a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d
= (a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a . 1 + b . 1 + c . 1)
= (a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)
Karena 3 | 999, 3 | 99, dan 3 | 9, 3 | (a . 999 + b . 99 + c . 9).
Jika 3 (a + b + c) maka 3 ((a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)). Hal ini berarti 3 n. Di lain pihak, jika 3┼(a + b + c) maka 3┼((a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)). Hal ini berarti 3┼n.
Karena 9 | 9, 9 | 99, 9 | 999, dan seterusnya dengan uji yang serupa dengan uji keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3, kita dapat menentukan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 9 Uji keterbagian oleh 9 Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 9 jika dan hanya jika jumlah dari digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 9.
Contoh 2.
a. Tentukan apakah 1002 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
b. Tentukan apakah 14238 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
Jawab.
a. Karena 1 + 0 + 0 + 2 = 3 dan 3 | 3, akibatnya 3 | 1002.
Karena 9┼3, akibatnya 9┼1002.
b. Karena 1 + 4 + 2 + 3 + 8 = 18 dan 3 | 18, akibatnya 3 | 14238.
Karena 9 | 18, akibatnya 9 | 14238.

Selanjutnya akan kita perhatikan uji keterbagian suatu bilangan bulat oleh 7, oleh 11, dan oleh 6, yaitu sebagai berikut:

Uji keterbagian oleh 7
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan tanpa digit satuannya dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh 7.

Uji keterbagian oleh 11
Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 11 jika dan hanya jika jumlah digit-digit yang berada pada pangkat genap dari 10 dikurangi jimlah digit-digit yang berada pada pangkat ganjil dari 10, dapat dibagi oleh 11.

Uji keterbagian oleh 6 Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 6 jika dan hanya jika bilangan itu dapat dibagi oleh 2 dan 3.

Contoh 3.
a. Tentukan apakah 8471986 dapat dibagi oleh 11.
b. Tentukan apakah 462 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
c. Tentukan apakah 875 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.

Jawab.
a.       (6 + 9 + 7 + 8) – (8 + 1 + 4) = 17
Karena 11┼17, kita simpulkan 11┼8471986
b.      (i)         46 – 2 . 2 = 42 dan 7 | 42
Jadi, 7 | 462
(ii)        (2 + 4) – 6 = 0 dan 11 | 0
Jadi, 11 | 462
(iii)       2 | 462 dan 3 | 462
Jadi 6 | 462
c.        (i)         87 – 2 . 5 = 77 dan 7 | 77
Jadi 7 | 875
(ii)        (5 + 8) – 7 = 6 dan 11┼ 6
Jadi, 11┼875
(iii)       2┼875 karena 875 bilangan ganjil
Jadi 6┼875


BAB III
KESIMPULAN

1.      Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat sebarang; b | a jika dan hanya jika ada bilangan bulat c sedemikian sehingga a = bc.
2.      Misalkan a, d, dan n bilangan-bilangan bulat sebarang. Jika d | a maka d | na.
3.      Misalkan a, b, dan d bilangan bulat sebarang.
a.  Jika d | a dan d | b maka d | (a + b)
b.  Jika d | a dan d┼b maka d┼(a + b)
c.  Jika d | a dan d | b maka d | (a - b)
d. Jika d | a dan d┼b maka d┼(a - b)

4.      Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 2 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 2.
5.      Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 5 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 5. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.
6.      Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh 10. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0.
7.      Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 4.
8.      Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 8.
9.      Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 3.
10.  Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 9 jika dan hanya jika jumlah dari digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 9.
11.  Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan tanpa digit satuannya dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh 7.

Terima Kasih Atas Kunjungan Anda
Judul: Keterbagian, Sifat-sifatnya, serta Contohnya
Ditulis Oleh : Liaazalealova
Sekian artikel mengenai Keterbagian, Sifat-sifatnya, serta Contohnya. Untuk artikel lainnya silahkan lihat di Daftar Isi.
0 comments: